뚝딱뚝딱

https://www.acmicpc.net/problem/12865

💡 평범한 배낭

[문제]
이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

[입력]
첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

[출력]
한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

✅ 문제 풀이

• 배낭 문제는 전형적인 DP 문제
• 배낭 문제 중에는 물건의 무게를 쪼갤 수 있는 fraction knapsack 문제와 쪼갤 수 없는 0-1 knapsack 문제로 구분할 수 있다.
• 이 문제는 0-1 knapsack에 해당한다.
• 1번 물건부터 n번 물건까지 각각의 물건을 넣을지 말지에 따라서 무게k 안에 담을 수 있는 최대 가치는 달라진다.
• 이를 계산하기 위해 2차원 배열을 사용한다.
• dp[i][j]에서 i는 i번째 물건까지 고려하면서 최대로 담을 수 있는 배낭의 무게가 j일때의 최대 가치를 갖는다.
• 따라서 dp[i][j]를 구할 때는 i번 째 물건을 넣지 않은 경우와 넣은 경우 중 더 큰 가치를 반영하도록 한다.
  이는 i번째 물건의 무게가 j 이하여야 넣을 수 있기 때문에, 이를 꼭 확인한다.
  i번째 물건을 넣지 않는다면, i-1번째 물건까지 고려했을 때의 가치와 같다.
  i번째 물건을 넣는다면, i번째 물건의 가치+dp[i-1][j-i번째 물건의 무게]와 같다. (i번째 물건의 무게만큼 빼줘야 i를 넣음으로써 배낭의 무게가 j이하로 유지할 수 있기 때문이다)
  이 두 값 중 더 큰 값이 dp[i][j]가 된다.
• 그런데 만약 i번째 물건의 무게가 j보다 크다면, 배낭에 넣을 수 없기 때문에, 이때의 dp[i][j]는 i-1번째 물건까지 고려했을 때의 가치와 동일하게 된다. 어차피 못넣기 때문이다.
• 그렇다면 다음 두가지 경우에 대해서 각각의 점화식을 나타낼 수 있다.
  
  

🅰 j < i번째 물건의 무게

dp[i][j] = dp[i-1][j]

🅱 j >= i번째 물건의 무게

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], v[i]+dp[i-1][j-w[i]])

• 입력으로 받은 물건의 개수 n, 배낭에 담을 수 있는 최대 무게 k
• 2중 for문을 통해 i는 1부터 n까지, j는 1부터 k까지 순회하며 dp[i][j]를 계산할 수 있다.
• 이때 점화식에 의해서, 아직 2중 for문을 통해 계산되지 않은 범위의 dp값을 사용하게 되는 경우가 있는데, 이는 결국 조건을 충족하지 못해 0으로 계산되어야 한다. 따라서 처음에 2차원 배열 dp를 생성할 때, 크기가 (n+1) * (k+1)인 배열로 선언하고, 값은 모두 0으로 초기화 하여 시작하였다. 이렇게 하면 0 값을 가져다 쓸 수 있다. 
• 2중 for문으로 dp를 모두 계산하고 나면, dp[n][k]에는 n번 물건까지 고려하여 배낭에 담을 수 있는 최대 무게가 k일때의 최대 가치가 담기게 된다.
• 따라서 dp[n][k]를 출력해준다. 

✏ 코드 전문

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	cout.tie(NULL);

	int n, k;
	cin >> n >> k;

	vector<int> w(n+1,0);
	vector<int> v(n+1,0);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i];
	}

	vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(k + 1,0));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= k; j++) {
			if (j < w[i]) {
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
			else {
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], v[i] + dp[i - 1][j - w[i]]);
			}
		}
	}

	cout << dp[n][k];

	return 0;
}

https://www.acmicpc.net/problem/1149

💡 RGB거리

[문제]
RGB거리에는 집이 N개 있다. 거리는 선분으로 나타낼 수 있고, 1번 집부터 N번 집이 순서대로 있다.집은 빨강, 초록, 파랑 중 하나의 색으로 칠해야 한다. 각각의 집을 빨강, 초록, 파랑으로 칠하는 비용이 주어졌을 때, 아래 규칙을 만족하면서 모든 집을 칠하는 비용의 최솟값을 구해보자.1번 집의 색은 2번 집의 색과 같지 않아야 한다.N번 집의 색은 N-1번 집의 색과 같지 않아야 한다.i(2 ≤ i ≤ N-1)번 집의 색은 i-1번, i+1번 집의 색과 같지 않아야 한다.

[입력]
첫째 줄에 집의 수 N(2 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다. 둘째 줄부터 N개의 줄에는 각 집을 빨강, 초록, 파랑으로 칠하는 비용이 1번 집부터 한 줄에 하나씩 주어진다. 집을 칠하는 비용은 1,000보다 작거나 같은 자연수이다.

[출력]
첫째 줄에 모든 집을 칠하는 비용의 최솟값을 출력한다.

✅ 문제 풀이

이 문제는 전형적인 DP 문제이다.

집은 R,G,B 세 색상 중 하나로 칠할 수 있는데, 인접한 집끼리는 색이 겹쳐서는 안된다.

그렇게 칠했을 때 모든 집을 칭하는 최소 비용을 구한다.

일단 입력으로 주어지는 각 집당 페인트 비용을 저장하기 위해서 2차원 배열을 사용해보자.

문제에서 주어진 예시를 사용할 것이다.

행은 집의 번호, 열은 각 집의 R,G,B 비용이다.

첫번째 집까지 칠했을 때는 첫번째 집에서 고른 비용이 저장되는 것이고, 두번째 집까지 칠했을 때는 첫번째 집까지 쓰인 비용+두번째 집에서 고른 비용으로 값이 정해진다. 따라서 다음과 같은 점화식을 따른다.

d[i]=d[i-1]+a[i]

그런데, 비용을 최소로 한다고 해서 모든 집에서 가장 작은 비용을 선택해버린다면, 위 예에 따르면 26, 49, 13이 가장 최소가 되어버리고, 모두 빨간색으로만 칠하게 되어버린다. 이는 조건을 위배하게 된다.

따라서 이전 집에서 어떤 색을 칠했는지에 따라서 이번 집에 칠할 수 있는 색이 2개로 추려져야 한다.

그러므로 이전 집을 R로 칠했을때, G로 칠했을때, B로 칠했을때를 모두 계산하고 나서, 최종 집까지 칠했을때 세 값중 최소값이 답이 될 수 있다.

이때 현재 집(i번 집)에 R을 칠하고자 한다면 이전집(i-1)이 G또는 B가 칠해졌어야 하고, 이 둘 중 최소 비용에 현재 집의 R 비용을 더한 값이 d[i][0]이 될 수 있다.

이를 점화식으로 나타내면 다음과 같다.

d[i][0] = min(d[i - 1][1], d[i - 1][2]) + a[i][0]; 
d[i][1] = min(d[i - 1][0], d[i - 1][2]) + a[i][1];
d[i][2] = min(d[i - 1][0], d[i - 1][1]) + a[i][2];

점화식에 따르면 위 표와 같이 정리될 수 있고, 이는 i번째 집까지 칠했을 때의 비용을 나타낸다.

따라서 위 예시의 답은 3번째 집까지 칠했을 때의 비용 96,172,146 중에 최소값인 96이 되는 것이다.

min(min(d[t][0], d[t][1]), d[t][2])

이 식을 통해서 답을 구할 수 있다. (t는 마지막 집의 번호이다)

✏ 코드 전문

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	cout.tie(NULL);

	int t;
	cin >> t;

	vector<vector<int>> d(t + 1, vector<int>(3, 0));
	vector<vector<int>> a(t + 1, vector<int>(3, 0));

	for (int i = 1; i <= t; i++) {
		cin >> a[i][0] >> a[i][1] >> a[i][2];
		d[i][0] = min(d[i - 1][1], d[i - 1][2]) + a[i][0];
		d[i][1] = min(d[i - 1][0], d[i - 1][2]) + a[i][1];
		d[i][2] = min(d[i - 1][0], d[i - 1][1]) + a[i][2];
	}

	int answer = min(min(d[t][0], d[t][1]), d[t][2]);

	cout << answer;

	return 0;
}